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设不恒为零的函数f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0.记M={|f(x)|)}.证明: 至少存在一点ξ∈(0,1),使得|f’(ξ)|≥2M;
设不恒为零的函数f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0.记M={|f(x)|)}.证明: 至少存在一点ξ∈(0,1),使得|f’(ξ)|≥2M;
admin
2022-04-27
233
问题
设不恒为零的函数f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且f(0)=f(1)=0.记M=
{|f(x)|)}.证明:
至少存在一点ξ∈(0,1),使得|f’(ξ)|≥2M;
选项
答案
由f(x)≠0,f(0)=f(1)=0,知M>0,且|f(x)|在(0,1)内取得最大值M.不妨设|f(x
0
)|=M,x
0
∈(0,1). 若x
0
∈(0,1/2],则由拉格朗日中值定理,知存在一点ξ
1
∈(0,x
0
)[*](0,1),使得 [*] 若x
0
∈[1/2,1),则由拉格朗日中值定理,知存在一点ξ
2
∈(x
0
,1)[*](0,1),使得 [*] 综上所述,至少存在一点ξ∈(0,1),使得|f’(ξ)|≥2M.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2LR4777K
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考研数学三
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