设不恒为零的函数f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0．记M={｜f(x)｜)}．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得｜f’(ξ)｜≥2M；

admin2022-04-27 255

问题设不恒为零的函数f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0．记M=

{｜f(x)｜)}．证明：
至少存在一点ξ∈(0，1)，使得｜f’(ξ)｜≥2M；

选项

答案由f(x)≠0，f(0)=f(1)=0，知M＞0，且｜f(x)｜在(0，1)内取得最大值M．不妨设｜f(x₀)｜=M，x₀∈(0，1)．若x₀∈(0，1/2]，则由拉格朗日中值定理，知存在一点ξ₁∈(0，x₀)[*](0，1)，使得 [*] 若x₀∈[1/2，1)，则由拉格朗日中值定理，知存在一点ξ₂∈(x₀,1)[*](0，1)，使得 [*] 综上所述，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得｜f’(ξ)｜≥2M．

解析

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考研数学三

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设函数f（x）在区间[0，4]上连续，且f（x）dx=0，求证：存在ξ∈（0，4）使得f（ξ）+f（4一ξ）=0．
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设有级数证明此级数的和函数y(x)满足微分方程y’’—y=—l；
设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明：

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