若方程y’’+py’+qy=0的一切解都是x的周期函数，则一定有( )。

admin2022-04-10 26

问题若方程y^’’+py^’+qy=0的一切解都是x的周期函数，则一定有( )。

选项 A、p＞0，q=0
B、p=0，q＞0
C、p＜0，q=0
D、p=0，q＜0

答案B

解析这是二阶常系数齐次线性方程，其通解形式由特征方程r²+pr+q=0的特征根

所决定，
①当p²-4q＞0时，r₁，r₂为不等的实特征根，原方程通解为y=c₁e^r₁x+ c₂e^r₂x,这时y不可能是x的周期函数。
②当p²-4q=0时，r₁=r₂=

，原方程的通解为

，也不可能是x的周期函数。
③当p²-4q＜0时，

，原方程的通解为

，只有当p=0时，它的通解才是x的周期函数，这时q＞0，故选B。

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