设随机变量X的分布律为X~,随机变量y的概率密度为 且随机变量X,Y相互独立,求随机变量Z=X+Y的分布函数。

admin2021-01-28  24

问题 设随机变量X的分布律为X~,随机变量y的概率密度为

    且随机变量X,Y相互独立,求随机变量Z=X+Y的分布函数。

选项

答案随机变量Z的分布函数为 Fz(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}, 当z<0时,Fz(z)=0; 当0≤z<1时,Fz(z)=P{X=0,Y≤z}=P{X=0}P{Y≤z} =(1/4)∫0zFY(y)dy=(1/4)∫0z2ydy=(1/4)z2; 当1≤z<2时,Fz(z)=P{X=0,Y≤z}+P{X=1,y=z-1} =P{X=0}P{Y≤1}+P{X=1}P{y≤z-1} =1/4+(1/2)∫0z-12ydy=1/4+(1/2)(z-1)2; 当2≤z<3时, Fz(z)=P{X=0,Y≤z}+P{X=1,Y≤z-1}+P{X=2,Y≤z-2} =P{X=0}P{Y≤x}+P{X=1}P{Y≤z-1}+P{X=2}P{Y≤z-2} =P{X=0}P{Y≤1}+P{X=1}P{Y≤1)+P{X=2}P{y≤z-2}。 -1/4+1/2+(1/4)P{Y≤z-2}=3/4+(1/4)∫0z-22ydy=3/4+(1/4)(z-2)2; 当z≥3时,Fz(z)=1,故 [*]

解析
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