已知A＝，a是一个实数． (1)求作可逆矩阵U，使得U-1AU是对角矩阵． (2)计算｜A－E｜．

admin2018-11-23 44

问题已知A＝

，a是一个实数．
(1)求作可逆矩阵U，使得U^-1AU是对角矩阵．
(2)计算｜A－E｜．

选项

答案(1)先求A的特征值．｜λE－A｜＝[*]＝(λ－a－1)²(λ－a＋2) A的特征值为a＋1(二重)和a－2(一重)．求属于a＋1的两个线性无关的特征向量，即求[A－(a＋1)E]X＝0的基础解系： [*] 得[A－(a＋1)E]α＝0的同解方程组得基础解系η₁＝(1，1，0)^T，η₂＝(1，0，1)^T．求属于a－2的一个特征向量，即求[A－(a－2)E]X＝0的一个非零解： [*] 得[A－(a－2)E]X＝0的同解方程组[*] 得解η₃＝(－1，1，1)^T．令U＝(η₁，η₂，η₃)，则 U^-1AU＝[*] (2)A－E的特征值为a(二重)和a－3，于是｜A－E｜＝a²(a－3)．

解析

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考研数学一

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