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设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
admin
2019-07-23
45
问题
设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x
2
y]dy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
选项
答案
由于[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x
2
y]dy=0是全微分方程,则 [*] 即 x
2
+2xy一f(x)=f"(x)+2xy f"(x)+f(x)=x
2
这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程,可求得其通解为 f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+x
2
一2 由f(0)=1及f’(0)=1,可求得C
1
=2,C
2
=1,从而得 f(x)=2cosx+sinx+x
2
一2 于是原方程为 [xy
2
一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+COSX+2x+x
2
y)dy=0 其通解是 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9wc4777K
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考研数学一
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