设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

admin2019-07-23 59

问题设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x²y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

选项

答案由于[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x²y]dy=0是全微分方程，则 [*] 即 x²+2xy一f(x)=f"(x)+2xy f"(x)+f(x)=x² 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C₁cosx+C₂sinx+x²一2 由f(0)=1及f’(0)=1，可求得C₁=2，C₂=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x²一2 于是原方程为 [xy²一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+COSX+2x+x²y)dy=0 其通解是 [*]

解析

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