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设有齐次线性方程组Aχ=0和Bχ=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题: ①若Aχ=0的解均是Bχ=0的解,则r(a)≥r(B); ②若r(A)≥r(B),则Aχ=0的解均是Bχ=0的解; ③若Aχ=0与Bχ=0同解,则r(A
设有齐次线性方程组Aχ=0和Bχ=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题: ①若Aχ=0的解均是Bχ=0的解,则r(a)≥r(B); ②若r(A)≥r(B),则Aχ=0的解均是Bχ=0的解; ③若Aχ=0与Bχ=0同解,则r(A
admin
2018-11-22
57
问题
设有齐次线性方程组Aχ=0和Bχ=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题:
①若Aχ=0的解均是Bχ=0的解,则r(a)≥r(B);
②若r(A)≥r(B),则Aχ=0的解均是Bχ=0的解;
③若Aχ=0与Bχ=0同解,则r(A)=r(B);
④若r(A)=r(B),则Aχ=0与Bχ=0同解.
以上命题中正确的有( )
选项
A、①②
B、①③
C、②④
D、③④
答案
B
解析
由于线性方程组Aχ=0和Bχ=0之间可以无任何关系,此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况,所以②,④显然不正确,利用排除法,可得正确选项为B.
下面证明①,③正确:
对于①,由Aχ=0的解均是Bχ=0的解可知,方程组Bχ=0含于Aχ=0之中,从而Aχ=0的有效方程的个数(即为r(A))必不少于Bχ=0的有效方程的个数(为r(B)),故
r(A)≥r(B).
对于③,由于A,B为同型矩阵,若Aχ=0与Bχ=0同解,则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同,即
n-r(A)=n-r(B),
从而r(A)=r(B).所以应选B.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vEM4777K
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考研数学一
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