设 (Ⅰ)讨论f(x)的连续性,若有间断点并指出间断点的类型; (Ⅱ)判断f(x)在(-∞,1]是否有界,并说明理由。

admin2018-11-16  46

问题
(Ⅰ)讨论f(x)的连续性,若有间断点并指出间断点的类型;
(Ⅱ)判断f(x)在(-∞,1]是否有界,并说明理由。

选项

答案先求[*]。 当0<x<1时,[*]; 当x=1时,[*]; 当x>1时,[*], 于是[*] (Ⅰ)当x≠0,x≠1时,显然f(x)连续,在x=0处,由[*][*] →f(x)在点x=0处不连续,且点x=0是f(x)的第一类间断点,在x=1附近,由[*]42 →f(x)在点x=1处既左连续又右连续,于是f(x)在点x=1处连续,因此f(x)在(-∞,0),(0,+∞)连续,x=0是f(x)的第一类间断点。 (Ⅱ)题(Ⅰ)中已证明这个分段函数在(-∞,0),(0,+∞)连续,且[*]存在,要判断f(x)在(-∞,1)上的有界性,只需再考察[*],即[*] 因f(x)在(-∞,0)连续,又[*]存在→f(x)在(-∞,0)有界,f(x)在(0,1)连续,又[*]存在→f(x)在(0,1)有界,因此f(x)在(-∞,1)有界。

解析
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