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[2003年] 设α1,α2,…,α3均为n维向量,下列结论中不正确的是( ).
[2003年] 设α1,α2,…,α3均为n维向量,下列结论中不正确的是( ).
admin
2019-04-28
54
问题
[2003年] 设α
1
,α
2
,…,α
3
均为n维向量,下列结论中不正确的是( ).
选项
A、若对于任意一组不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,都有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
≠0,则α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关
B、若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,则对于任意一组不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0
C、α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s
D、α
1
,α
2
,…,α
3
线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关
答案
B
解析
解一 (A)正确.事实上,若α
1
,α
2
,…,α
3
线性相关,则存在一组不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0.这定义的逆否命题就是选项(A)中的命题.可见(A)成立.
若α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,由其定义知,存在一组而不是任意一组不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
使得k
1
α
1
+k
2
α
s
+…+k
s
α
s
=0.(B)不成立.由“向量组α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关的充要条件是秩([α
1
,α
2
,…,α
s
])=s”知,(C)也成立.因α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关的必要条件是其任一部分向量组线性无关.当然其中任意两个向量也线性无关,(D)也成立.仅(B)入选.
解二 可举反例证明(B)不正确:向量组α
1
=[1,0]
T
,α
2
=[4,0]
T
线性相关,但对于一组不全为零的常数k
1
=1,k
2
=0,却有k
1
α
1
+k
2
α
2
=α
1
=[1,0]
T
≠0.
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0
考研数学三
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