2. 考研
  3. [2003年] 设α1，α2，…，α3均为n维向量，下列结论中不正确的是( )．

[2003年] 设α1，α2，…，α3均为n维向量，下列结论中不正确的是( )．

admin2019-04-28  55
问题 [2003年]  设α1，α2，…，α3均为n维向量，下列结论中不正确的是(    )．
选项 A、若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关
B、若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，有k1α1+k2α2+…+ksαs=0
C、α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s
D、α1，α2，…，α3线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关
答案B
解析 解一  (A)正确．事实上，若α1，α2，…，α3线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0．这定义的逆否命题就是选项(A)中的命题．可见(A)成立．
    若α1，α2，…，αs线性相关，由其定义知，存在一组而不是任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks使得k1α1+k2αs+…+ksαs=0．(B)不成立．由“向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是秩([α1，α2，…，αs])=s”知，(C)也成立．因α1，α2，…，αn线性无关的必要条件是其任一部分向量组线性无关．当然其中任意两个向量也线性无关，(D)也成立．仅(B)入选．
    解二  可举反例证明(B)不正确：向量组α1=[1，0]T，α2=[4，0]T线性相关，但对于一组不全为零的常数k1=1，k2=0，却有k1α1+k2α2=α1=[1，0]T≠0．
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考研数学三

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