[2003年] 设α1,α2,…,α3均为n维向量,下列结论中不正确的是( ).

admin2019-04-28  34

问题 [2003年]  设α1,α2,…,α3均为n维向量,下列结论中不正确的是(    ).

选项 A、若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks,都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0,则α1,α2,…,αs线性无关
B、若α1,α2,…,αs线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks,有k1α1+k2α2+…+ksαs=0
C、α1,α2,…,αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s
D、α1,α2,…,α3线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关

答案B

解析 解一  (A)正确.事实上,若α1,α2,…,α3线性相关,则存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0.这定义的逆否命题就是选项(A)中的命题.可见(A)成立.
    若α1,α2,…,αs线性相关,由其定义知,存在一组而不是任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks使得k1α1+k2αs+…+ksαs=0.(B)不成立.由“向量组α1,α2,…,αs线性无关的充要条件是秩([α1,α2,…,αs])=s”知,(C)也成立.因α1,α2,…,αn线性无关的必要条件是其任一部分向量组线性无关.当然其中任意两个向量也线性无关,(D)也成立.仅(B)入选.
    解二  可举反例证明(B)不正确:向量组α1=[1,0]T,α2=[4,0]T线性相关,但对于一组不全为零的常数k1=1,k2=0,却有k1α1+k2α21=[1,0]T≠0.
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