设二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中 B＝． (1)求正交变换X＝QY将二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

admin2017-12-31 81

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝X^TAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中
B＝

．
(1)求正交变换X＝QY将二次型化为标准形；
(2)求矩阵A．

选项

答案(1)由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，从而r(E＋A)＋r(B)≤3，因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重，显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝5．由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝0的解，故[*]为λ₁＝λ₂＝－1对应的线性无关解．令[*]为λ₃＝5对应的特征向量， [*] [*]

解析

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考研数学三

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