设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明： (1) E一A和(E+A)一1 相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵．

admin2020-05-16 58

问题设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明：
(1) E一A和(E+A)^一1 相乘可交换；
(2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)^一1是正交矩阵．

选项

答案(1)因(E一A) (E+A)=E一A²=(E+A) (E一A)，两边分别左乘、右乘(E+A)^一1得到 (E+A)^一1(E—A)(E+A)(E+A)^一1=(E+A)^一1(E+A)(E—A)(E+A)^一1 ，故 (E+A)^一1(E一A)=(E一A) (E+A)^一1 ，即E一A与(E+A)^一1相乘可交换． (2)为证(E一A) (E+A)^一1为正交矩阵，只需证． [(E—A) (E+A)^一1]^T=[(E—A)(E+A)^一1]^一1．事实上，由(1)的结果得到 [(E—A) (E+A)^一1]^T=[(E+A)^一1(E一A)]^T=(E一A)^T[(E+A)^一1]^T =(E—A^T)[(E+A)^T]^一1=(E—A^T)(E+A^T)^一1 =(E+A)(E一A)^一1 (A为反对称矩阵，A^T=一A)，而 [(E一A) (E+A)^一1]^一1=[(E+A)^一1]^一1(E一A)^一1 =(E+A)(E一A)^一1 ，故 [(E一A)(E+A)^一1]^T=[(E一A)(E+A)^一1]^一1 ，所以(E一A) (E+A)^一1为正交矩阵．

解析 (1)利用(E—A)(E+A)=(E+A)(E—A)及矩阵乘法运算证之；
(2)利用正交矩阵的定义(AA^T=E，即A^一1=A^T)证之，

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考研数学三

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