2. 考研
  3. 设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明： (1) E一A和(E+A)一1 相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵．

设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明： (1) E一A和(E+A)一1 相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵．

admin2020-05-16  49
问题 设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明：
(1) E一A和(E+A)一1   相乘可交换；
(2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵．
选项
答案(1)因(E一A) (E+A)=E一A2=(E+A) (E一A)， 两边分别左乘、右乘(E+A)一1得到 (E+A)一1(E—A)(E+A)(E+A)一1=(E+A)一1(E+A)(E—A)(E+A)一1 ， 故 (E+A)一1(E一A)=(E一A) (E+A)一1 ， 即E一A与(E+A)一1相乘可交换． (2)为证(E一A) (E+A)一1为正交矩阵，只需证． [(E—A) (E+A)一1]T=[(E—A)(E+A)一1]一1． 事实上，由(1)的结果得到 [(E—A) (E+A)一1]T=[(E+A)一1(E一A)]T=(E一A)T[(E+A)一1]T =(E—AT)[(E+A)T]一1=(E—AT)(E+AT)一1 =(E+A)(E一A)一1 (A为反对称矩阵，AT=一A)， 而 [(E一A) (E+A)一1]一1=[(E+A)一1]一1(E一A)一1 =(E+A)(E一A)一1 ， 故 [(E一A)(E+A)一1]T=[(E一A)(E+A)一1]一1 ， 所以(E一A) (E+A)一1为正交矩阵．
解析 (1)利用(E—A)(E+A)=(E+A)(E—A)及矩阵乘法运算证之；
(2)利用正交矩阵的定义(AAT=E，即A一1=AT)证之，
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考研数学三

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