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设A是n阶方阵,且E+A可逆,证明: (1) E一A和(E+A)一1 相乘可交换; (2)若A为反对称矩阵,则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵.
设A是n阶方阵,且E+A可逆,证明: (1) E一A和(E+A)一1 相乘可交换; (2)若A为反对称矩阵,则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵.
admin
2020-05-16
72
问题
设A是n阶方阵,且E+A可逆,证明:
(1) E一A和(E+A)
一1
相乘可交换;
(2)若A为反对称矩阵,则(E一A) (E一A)
一1
是正交矩阵.
选项
答案
(1)因(E一A) (E+A)=E一A
2
=(E+A) (E一A), 两边分别左乘、右乘(E+A)
一1
得到 (E+A)
一1
(E—A)(E+A)(E+A)
一1
=(E+A)
一1
(E+A)(E—A)(E+A)
一1
, 故 (E+A)
一1
(E一A)=(E一A) (E+A)
一1
, 即E一A与(E+A)
一1
相乘可交换. (2)为证(E一A) (E+A)
一1
为正交矩阵,只需证. [(E—A) (E+A)
一1
]
T
=[(E—A)(E+A)
一1
]
一1
. 事实上,由(1)的结果得到 [(E—A) (E+A)
一1
]
T
=[(E+A)
一1
(E一A)]
T
=(E一A)
T
[(E+A)
一1
]
T
=(E—A
T
)[(E+A)
T
]
一1
=(E—A
T
)(E+A
T
)
一1
=(E+A)(E一A)
一1
(A为反对称矩阵,A
T
=一A), 而 [(E一A) (E+A)
一1
]
一1
=[(E+A)
一1
]
一1
(E一A)
一1
=(E+A)(E一A)
一1
, 故 [(E一A)(E+A)
一1
]
T
=[(E一A)(E+A)
一1
]
一1
, 所以(E一A) (E+A)
一1
为正交矩阵.
解析
(1)利用(E—A)(E+A)=(E+A)(E—A)及矩阵乘法运算证之;
(2)利用正交矩阵的定义(AA
T
=E,即A
一1
=A
T
)证之,
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考研数学三
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