设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明： (1) E一A和(E+A)一1 相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵．

admin2020-05-16 53

问题设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明：
(1) E一A和(E+A)^一1 相乘可交换；
(2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)^一1是正交矩阵．

选项

答案(1)因(E一A) (E+A)=E一A²=(E+A) (E一A)，两边分别左乘、右乘(E+A)^一1得到 (E+A)^一1(E—A)(E+A)(E+A)^一1=(E+A)^一1(E+A)(E—A)(E+A)^一1 ，故 (E+A)^一1(E一A)=(E一A) (E+A)^一1 ，即E一A与(E+A)^一1相乘可交换． (2)为证(E一A) (E+A)^一1为正交矩阵，只需证． [(E—A) (E+A)^一1]^T=[(E—A)(E+A)^一1]^一1．事实上，由(1)的结果得到 [(E—A) (E+A)^一1]^T=[(E+A)^一1(E一A)]^T=(E一A)^T[(E+A)^一1]^T =(E—A^T)[(E+A)^T]^一1=(E—A^T)(E+A^T)^一1 =(E+A)(E一A)^一1 (A为反对称矩阵，A^T=一A)，而 [(E一A) (E+A)^一1]^一1=[(E+A)^一1]^一1(E一A)^一1 =(E+A)(E一A)^一1 ，故 [(E一A)(E+A)^一1]^T=[(E一A)(E+A)^一1]^一1 ，所以(E一A) (E+A)^一1为正交矩阵．

解析 (1)利用(E—A)(E+A)=(E+A)(E—A)及矩阵乘法运算证之；
(2)利用正交矩阵的定义(AA^T=E，即A^一1=A^T)证之，

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考研数学三

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设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明： (1) E一A和(E+A)一1 相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵．

考研数学三

求

证明二次型xTAx正定的充分必要条件是A的特征值全大于0．

设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=lα1+kα2，Aα3=lα2+lα3，l≠0，证明α1，α2，α3线性无关．

设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a=__________。

常数项级数的敛散性为_________．

设z=z(x，y)是由方程x－mz=φ(y－nz)所确定，(其中m、n为常数，φ为可微函数)，则=_______．

[*]+C，其中C为任意常数

计算曲面积分，其中S为有向曲面z＝x2＋y2(0≤z≤1)其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

设A，B是两个随机事件，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，则=______

先有工程设计图，然后按设计图施工，建成大厦。这一事实说明()

下列作家不属于宋代“婉约派”词人的是()。

禁食早期，提高机体能量的主要营养物质是

A．茵陈蒿汤B．胃苓汤C．逍遥散D．犀角地黄汤E．黄连解毒汤妊娠期间身目俱黄，色鲜明如橘子色，右胁胀痛，恶心厌食；口苦咽干，胸胁痞满，倦怠乏力，尿黄便坚；舌质红，苔黄腻，脉弦滑或濡数。治宜首选

价值工程又称为价值分析，价值指数可用公式()来表达。

按照国际通行做法，采用工程项目总承包模式的项目在合同计价方式上应当采用()。

某类债券共100只，票面利率最高的前10只的票面利率分别为7.0%，6．9%6．7%，6．6%，6．5%，6．4%，6．3%，6．2%，6．0%，5．9%。则该债券票面利率的上2．5%分位数是()。

人权宣言的重要贡献主要体现()。

KofiAnnansayshelpingsurvivorsoflastweek’searthquakeand【L1】.intheIndianOceanis【L2】.TheUnitedNations

设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明： (1) E一A和(E+A)一1 相乘可交换； (2)若A为反对称矩阵，则(E一A) (E一A)一1是正交矩阵．

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设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

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[*]+C，其中C为任意常数

计算曲面积分，其中S为有向曲面z＝x2＋y2(0≤z≤1)其法向量与z轴正向的夹角为锐角．

设A，B是两个随机事件，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，则=______

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A．茵陈蒿汤B．胃苓汤C．逍遥散D．犀角地黄汤E．黄连解毒汤妊娠期间身目俱黄，色鲜明如橘子色，右胁胀痛，恶心厌食；口苦咽干，胸胁痞满，倦怠乏力，尿黄便坚；舌质红，苔黄腻，脉弦滑或濡数。治宜首选

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KofiAnnansayshelpingsurvivorsoflastweek’searthquakeand【L1】______.intheIndianOceanis【L2】______.TheUnitedNations

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