求曲线y=x2－2x,y=0,x=1,x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。

admin2022-10-08 53

问题求曲线y=x²－2x,y=0,x=1,x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。

选项

答案如图所示，所求面积为S=S₁+S₂，易见 S₁=∫₁²(2x－x²)dx=x²|₁²－[*]x³|₁²=[*] S₂=∫₂³(x²－2x)dx=[*]x³|₂³－x²|₂³=[*] 故所求图形的面积为S=S₁+S₂=2 平面图形S₁绕y轴旋转一周所得旋转体体积为 V₁=π∫_-1⁰[*] 平面图形S₂绕y轴旋转一周所得旋转体体积为 V₂=27π－π∫₀³[*] 故所求旋转体体积为V=V₁+V₂=9π [*]

解析

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