设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求： V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)。

admin2019-07-19 44

问题设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：
V=｜X—Y｜的概率密度f_V(v)。

选项

答案设Z=X—Y=X+(—Y)。其中X与(—Y)独立，概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 f_Z(z)=∫_—∞^+∞f_X(z—y)f_—Y(y)dy=∫_—1⁰f_X(z—y)dy [*] V=｜X—Y｜=｜Z｜的分布函数为F_V(v)=P{｜Z｜≤v}，可得当v≤0时，F_V(v)=0；当v＞0时，F_V(v)=P{—v≤Z≤v}=∫_—v^vf_Z(z)dz。由此知，当0＜v＜1时，F_V(v)=∫_—v⁰(z+1)dz+∫₀^v(1—z)dz=2v—v²；当v≥1时，F_V(v)=∫_—v^—10dz+∫_—1⁰(z+1)dz+∫₀¹(1—z)dz+∫₁^v0dz=1。综上可得F_V(v)=[*]

解析

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考研数学一

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