设二次方程x2－Xx+Y=0的两个根相互独立，且都服从(0，2)上的均匀分布，分别求X与Y的概率密度．

admin2018-11-22 53

问题设二次方程x²－Xx+Y=0的两个根相互独立，且都服从(0，2)上的均匀分布，分别求X与Y的概率密度．

选项

答案设二次方程的两个根为X₁，X₂，则它们的概率密度都为 [*] 记x的概率密度为f_X(x)，则由X=X₁+X₂得F_X(x)=∫_－∞^+∞f(t)f(x－t)dt，其中 [*] 即f(t)f(x－t)仅在如图3一11所示的平行四边形(阴影部分)中取值为[*]，在tOx平面的其余部分取值为0．因此：当x＜0或x＞4时，f_X(x)=0； [*] 记Y的概率密度为f_Y(y)，则由Y=X₁X₂得 [*] 在tOy平面的其余部分取值都为0．因此：当y≤0或y≥4时，f_Y(y)=0；当0＜y＜4时， [*]

解析

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考研数学一

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设f(x)为[-a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=(Ⅰ)证明F’(x)单调增加；(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值；(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)-a2-1时，求函数f(x)。
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