2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．

设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．

admin2018-01-23  48
问题 设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．
选项
答案对任意的x0∈[0，1]，因为exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加， 所以当x＜x0时，有[*]故f(x0)≤f(x)≤ex0－xf(x0)， 令x→x0－由夹逼定理得f(x0－0)=f(x0)； 当x＞x0时，有[*]故ex0－xf(x0)≤f(x)≤f(x0)， 令x→x0＋，由夹逼定理得f(x0＋0)＝f(x0)，故f(x0－0)＝f(x0＋0)－f(x0)， 即f(x)在x＝x0处连续，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上连续．
解析
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考研数学三

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