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  3. 设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2016-04-11  48
问题 设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
选项
答案A的特征多项式为 [*] (1)若λ=2是f(λ)的二重根，则有(λ2一8λ+18+3a)｜λ=2=22一16+18=3a一3a+6=0，解得a=一2． 当a=一2时，A的特征值为2，2，6，矩阵2E—A=[*]的秩为1，故对应于二重特征值2的线性无关特征向量有两个，从而A可相似对角化． (2)若λ=2不是f(λ)的二重根，则λ2一8λ+18+3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a=一[*]． 当a=一[*]时，A的特征值为2，4，4，矩阵 [*] 的秩为2，故A的对应于特征值4的线性无关特征向量只有一个，从而A不可相似对角化．
解析
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考研数学一

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