设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；

admin2018-05-25 44

问题设α₁，α₂，β₁，β₂为三维列向量组，且α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关．
证明：至少存在一个非零向量可同时由α₁，α₂和β₁，β₂线性表示；

选项

答案因为α₁，α₂，β₁，β₂线性相关．所以存在不全为零的常数k₁，k₂，l₁，l₂，使得k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0，或k₁α₁+k₁α₂=－l₁β₁－l₂β₂．令γ=k₁α₁+k₂α₂=－l₁β₁－l₂β₂．因为α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关．所以k₁，k₂及l₁，l₂都不全为零．所以γ≠0．

解析

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考研数学三

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