[2015年] 设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=√3x围成的平面区域:函数f(x,y)在D上连续,则f(x,y)dxdy=( ).

admin2019-05-10  35

问题 [2015年]  设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=√3x围成的平面区域:函数f(x,y)在D上连续,则f(x,y)dxdy=(    ).

选项 A、rf(rcosθ,rsinθ)dr
B、rf(rcosθ,rsinθ)dr
C、f(rcosθ,rsinθ)dr
D、f(rcosθ,rsinθ)dr

答案B

解析 如图1.5.3.2所示,所给积分区域D为典型的极点在D外的区域,用极坐标表示其积分较方便.为此,只需利用题设求出θ的取值范围及两曲线的极坐标表示.

则由y=x得到θ=,由y=√3x得到tanθ=√3,θ=,于是.再由2xy=1得到2r2cosθsinθ=r2sin2θ=1,r=,由4xy=1得到4r2cosθsinθ=2r2sin2θ,r=,于是
D={(x,y)},
f(x,y)dxdy=rf(rcosθ,rsinθ)dr.仅(B)入选.
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