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设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=β的通解为
设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=β的通解为
admin
2021-01-15
6
问题
设A为4×3矩阵,η
1
,η
2
,η
3
是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k
1
,k
2
为任意常数,则Ax=β的通解为
选项
A、
+k
1
(η
2
—η
1
).
B、
+k
1
(η
2
—η
1
).
C、
+k
1
(η
2
—η
1
)+k
2
(η
3
—η
1
).
D、
+k
1
(η
2
—η
1
)+k
2
(η
3
—η
1
).
答案
C
解析
首先,由A[
(η
2
+η
3
)]=β,知
(η
2
+η
3
)是Ax=β的一个特解;其次,由解的性质或直接验证,知η
2
—η
1
及η
3
—η
1
均为方程组Ax=0的解;再次,由η
1
,η
2
,η
3
线性无关,利用线性无关的定义,或由
[η
2
—η
1
,η
3
—η
1
]=[η
1
,η
2
,η
3
]
及矩阵
的秩为2,知向量组η
2
—η
1
,η
3
—η
1
线性无关,因此,方程组Ax=0至少有2个线性无关的解,但它不可能有3个线性无关的解(否则,3一r(A)=3,→r(A)=0,→A=O,这与Aη
1
=β≠0矛盾),于是η
2
—η
1
,η
3
—η
1
可作为Ax=0的基础解系,Ax=0的通解为k
1
(η
2
—η
1
)+k
2
(η
3
—η
1
),再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AIq4777K
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