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设总体Xi服从正态分布N(μi,σi2),与Si2分别是取自总体Xi的样本均值与样本方差,i=1,2,且X1与X2相互独立. (Ⅰ)求证,S12,,S22相互独立; (Ⅱ)如果μ1=μ2μ,令αi=,i=1,2,求统计量Y=的数学期望.
设总体Xi服从正态分布N(μi,σi2),与Si2分别是取自总体Xi的样本均值与样本方差,i=1,2,且X1与X2相互独立. (Ⅰ)求证,S12,,S22相互独立; (Ⅱ)如果μ1=μ2μ,令αi=,i=1,2,求统计量Y=的数学期望.
admin
2019-07-19
31
问题
设总体X
i
服从正态分布N(μ
i
,σ
i
2
),
与S
i
2
分别是取自总体X
i
的样本均值与样本方差,i=1,2,且X
1
与X
2
相互独立.
(Ⅰ)求证
,S
1
2
,
,S
2
2
相互独立;
(Ⅱ)如果μ
1
=μ
2
μ,令α
i
=
,i=1,2,求统计量Y=
的数学期望.
选项
答案
(Ⅰ)由于([*],S
1
2
)与([*],S
2
2
)分别取自两个相互独立的正态总体样本,所以它们相互独立,又因正态总体的样本均值与样本方差相互独立,所以[*]与S
1
2
相互独立,[*]与S
2
2
也相互独立.对于任意实数a,b,c,d有 P{[*]≤a,S
1
2
≤b,[*]≤c,S
2
2
≤d}=P{[*]≤a,S
1
2
≤b}P{[*]≤c,S
2
2
≤d} =P{[*]≤a}P{S
1
2
≤b}P{[*]≤c}P{S
2
2
≤d}, 于是[*],S
1
2
,[*],S
2
2
相互独立. (Ⅱ)从(Ⅰ)可知α
i
与[*]相互独立,i=1,2,依题意α
1
+α
2
=1,从而 EY=[*] =μ(Eα
1
+Eα
2
)=μE(α
1
+α
2
)=μ.
解析
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考研数学一
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