设函数f(x)有反函数g(x),且f(a)=3,f’(a)=1,f"(a)=2,求g"(3).

admin2018-06-15  28

问题 设函数f(x)有反函数g(x),且f(a)=3,f’(a)=1,f"(a)=2,求g"(3).

选项

答案记y=f(x).应注意到,g(x)为f(x)的反函数,已经改变了变量记号,为了利用反函数导数公式,必须将g(x)改写为g(y). 由反函数求导公式有f’(x)g’(y)=1,将该等式两边关于x求导得 f"(x)g’(y)+f’(x)g"(y)y’x=0, 或f"(x)g’(y)+[f’(x)]2g"(y)=0. 注意到g’(3)=1/f’(a)=1,在上式中令x=a,应有y=3,因此得到 g"(3)=-f"(a)g’(3)=-2.

解析
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