2. 考研
  3. 设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2020-09-25  58
问题 设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组

  的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案设有关系式k1α1+k2α2+…+krαr+lβ=0，由于β为线性方程组的非零解，所以有 [*] 即β≠0，βTα1=0，…，βTαr=0．由关系式k1α1+k2α2+…+krαr+lβ=0可得： k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+lβTβ=0，所以lβTβ=0．而β≠0，所以βTβ＞0，从而可得l=0，因此有k1α1+k2α2+…+krαr=0，而α1，α2，…，αr线性无关，从而有k1=k2=…=kr=0，即向量组α1，α2，…，αr，β线性无关．
解析
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考研数学三

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