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设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
admin
2020-09-25
85
问题
设α
i
=(a
i1
,a
i2
,…，a
in
)
T
(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关．已知β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量，试判断向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β的线性相关性．
选项
答案
设有关系式k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+lβ=0，由于β为线性方程组的非零解，所以有 [*] 即β≠0，β
T
α
1
=0，…，β
T
α
r
=0．由关系式k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+lβ=0可得： k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
r
β
T
α
r
+lβ
T
β=0，所以lβ
T
β=0．而β≠0，所以β
T
β＞0，从而可得l=0，因此有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
=0，而α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，从而有k
1
=k
2
=…=k
r
=0，即向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AJx4777K
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考研数学三
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