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设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.
设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.
admin
2020-09-25
30
问题
设α
i
=(a
i1
,a
i2
,…,a
in
)
T
(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关.已知β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量,试判断向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β的线性相关性.
选项
答案
设有关系式k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+lβ=0,由于β为线性方程组的非零解,所以有 [*] 即β≠0,β
T
α
1
=0,…,β
T
α
r
=0.由关系式k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+lβ=0可得: k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
r
β
T
α
r
+lβ
T
β=0,所以lβ
T
β=0.而β≠0,所以β
T
β>0,从而可得l=0,因此有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
=0,而α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,从而有k
1
=k
2
=…=k
r
=0,即向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AJx4777K
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考研数学三
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