已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)通过正交变换化成标准形f＝y12＋2y22＋5y32，求参数a及所用的正交变换矩阵P．

admin2017-06-26 47

问题已知二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝2χ₁²＋3χ₂²＋3χ₃²＋2aχ₂χ₃(a＞0)通过正交变换化成标准形f＝y₁²＋2y₂²＋5y₃²，求参数a及所用的正交变换矩阵P．

选项

答案f的矩阵A＝[*]，标准形的矩阵为D＝[*]，因P^-1AP＝P^TAP＝D，知A的特征值为1，2，5，由1×2×5＝｜A｜＝2(9－a²)，推出a＝2．计算可得属于1，2，5的单位特征向量分别可取为去[*](0，1，－1)^T，(1，0，0)^T，[*](0，1，1)^T，于是所用正交变换的矩阵可取为 P＝[*]

解析

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考研数学三

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