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已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=2χ12+3χ22+3χ32+2aχ2χ3(a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换矩阵P.
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=2χ12+3χ22+3χ32+2aχ2χ3(a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换矩阵P.
admin
2017-06-26
75
问题
已知二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=2χ
1
2
+3χ
2
2
+3χ
3
2
+2aχ
2
χ
3
(a>0)通过正交变换化成标准形f=y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
,求参数a及所用的正交变换矩阵P.
选项
答案
f的矩阵A=[*],标准形的矩阵为D=[*],因P
-1
AP=P
T
AP=D,知A的特征值为1,2,5,由1×2×5=|A|=2(9-a
2
),推出a=2. 计算可得属于1,2,5的单位特征向量分别可取为去[*](0,1,-1)
T
,(1,0,0)
T
,[*](0,1,1)
T
,于是所用正交变换的矩阵可取为 P=[*]
解析
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考研数学三
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