已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=2χ12+3χ22+3χ32+2aχ2χ3(a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换矩阵P.

admin2017-06-26  36

问题 已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=2χ12+3χ22+3χ32+2aχ2χ3(a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换矩阵P.

选项

答案f的矩阵A=[*],标准形的矩阵为D=[*],因P-1AP=PTAP=D,知A的特征值为1,2,5,由1×2×5=|A|=2(9-a2),推出a=2. 计算可得属于1,2,5的单位特征向量分别可取为去[*](0,1,-1)T,(1,0,0)T,[*](0,1,1)T,于是所用正交变换的矩阵可取为 P=[*]

解析
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