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若f(χ1,χ2,χ3)=(aχ1+2χ2-3χ3)2+(χ2-2χ3)2+(χ1+aχ2-χ3)2是正定二次型,则a的取值范围是_______.
若f(χ1,χ2,χ3)=(aχ1+2χ2-3χ3)2+(χ2-2χ3)2+(χ1+aχ2-χ3)2是正定二次型,则a的取值范围是_______.
admin
2018-06-12
50
问题
若f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=(aχ
1
+2χ
2
-3χ
3
)
2
+(χ
2
-2χ
3
)
2
+(χ
1
+aχ
2
-χ
3
)
2
是正定二次型,则a的取值范围是_______.
选项
答案
a≠1且a≠-[*]
解析
由题设条件知,对任意的χ
1
,χ
2
,χ
3
,恒有f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)≥0,其中等号成立的充分必要条件是
而上述齐次方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
所以,当a≠1且a≠-
时,
(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
≠0,恒有f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)>0,即二次型正定.
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考研数学一
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