[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3 ，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).

admin2019-05-10 40

问题 [2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A^*≠O，若ξ₁，ξ₂，ξ₃ ，ξ₄是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).

选项 A、不存在
B、仅含一个非零解向量
C、含有两个线性无关的解向量
D、含有三个线性无关的解向量

答案B

解析  基础解系所含解向量个数等于n=秩(A)，因此先求秩(A)，进而确定选项．
解一  当A^*≠O时，秩(A^*)=0，因而秩(A^*)=n或秩(A^*)=1，于是秩(A)=n或秩(A)=n一1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n一1．因而n一秩(A)=n一(n－1)=1，即其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．
解二  因A^*≠O，故秩(A^*)≥1，则秩(A)≥n－1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n一1，因而秩(A)=n一1，其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．

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考研数学二

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[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3 ，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).

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