设y1(x),y2(x),y3(x)是一阶微分方程y’=P(x)y+Q(y)的三个相异的特解，证明：为一定值。

admin2022-10-13 95

问题设y₁(x),y₂(x),y₃(x)是一阶微分方程y’=P(x)y+Q(y)的三个相异的特解，证明：

为一定值。

选项

答案一阶微分方程y’=P(x)y+Q(x)的通解为 y(x)=Cf(x)+ψ(x) 已知y₁(x),y₂(x),y₃(x)是一阶微分方程的三个相异的特解，故 y₁(x)=C₁f(x)+ψ(x),y₂(x)=C₂f(x)+ψ(x),y₃(x)=C₃f(x)+ψ(x) 因此 y₃(x)－y₁(x)=(C₃－C₁)f(x) y₂(x)－y₁(x)=(C₂－C₁)f(x) 上面两式相除 [*]为一定值。

解析取C=C_i(i=1,2,3)可得三个相异的特解为
y_i(x)=C₁f(x)+ψ(x),i=1,2,3
即可得证。

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