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设y1(x),y2(x),y3(x)是一阶微分方程y’=P(x)y+Q(y)的三个相异的特解，证明：为一定值。
设y1(x),y2(x),y3(x)是一阶微分方程y’=P(x)y+Q(y)的三个相异的特解，证明：为一定值。
admin
2022-10-13
59
问题
设y
1
(x),y
2
(x),y
3
(x)是一阶微分方程y’=P(x)y+Q(y)的三个相异的特解，证明：
为一定值。
选项
答案
一阶微分方程y’=P(x)y+Q(x)的通解为 y(x)=Cf(x)+ψ(x) 已知y
1
(x),y
2
(x),y
3
(x)是一阶微分方程的三个相异的特解，故 y
1
(x)=C
1
f(x)+ψ(x),y
2
(x)=C
2
f(x)+ψ(x),y
3
(x)=C
3
f(x)+ψ(x) 因此 y
3
(x)－y
1
(x)=(C
3
－C
1
)f(x) y
2
(x)－y
1
(x)=(C
2
－C
1
)f(x) 上面两式相除 [*]为一定值。
解析
取C=C
i
(i=1,2,3)可得三个相异的特解为
y
i
(x)=C
1
f(x)+ψ(x),i=1,2,3
即可得证。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AbC4777K
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考研数学三
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[*]
[0,2]
已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx－dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x0，记y0=y(x0)．证明：(1)y(x)＜y0－arctanx0；(2)均存在．
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设0＜k＜1，f(x)=kx－arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x0)=0．
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