2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＞0，取x1∈[a，b](i＝1，2，…，n)及ki＞0(i＝1，2，…，n)且满足k1＋k2＋…＋kn＝1．证明： f(k1x1＋k2x2＋…＋knxn)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＞0，取x1∈[a，b](i＝1，2，…，n)及ki＞0(i＝1，2，…，n)且满足k1＋k2＋…＋kn＝1．证明： f(k1x1＋k2x2＋…＋knxn)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)

admin2020-03-10  104
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＞0，取x1∈[a，b](i＝1，2，…，n)及ki＞0(i＝1，2，…，n)且满足k1＋k2＋…＋kn＝1．证明：
f(k1x1＋k2x2＋…＋knxn)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)．
选项
答案令x0＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn，显然x0∈[a，b]． 因为f”(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x－x0)， 分别取x＝xi(i＝1，2，…，n)，得 [*] 由ki＞0(i＝l，2，…，n)，上述各式分别乘以ki(i＝1，2，…，n)，得 [*] 将上述各式分别相加，得f(x0)≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)，即 f(k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn))≤k1f(x1)＋k2f(x2)…＋knf(xn)．
解析
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考研数学三

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