2. 考研
  3. 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．

已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．

admin2019-06-28  49
问题 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．
选项
答案用反证法．设α1，α2，…，αs，β中存在s个向量α1，α2，…，αi-1，αi+1，…，αs，β线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks，k使得 k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs+kβ=0． ① 另一方面，由题设 β=ι1α1+ι2α2+…+ιiαi+…+ιsαs， 其中ιi≠0，i=1，2，…，s．代入①式，得 (k1+kι1)α1+(k2+kι2)α2+…+(ki-1+kιi-1)αi-1+kιiαi+(ki+1+kιi+1)αi+1+…+(ks+kιs)αs=0， 因已知α1，α2，…，αs线性无关，从而有kιi=0，ιi≠0，故k=0，从而由①式得k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks均为0，矛盾． 故α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．
解析
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考研数学二

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