2. 考研
  3. 已知α1=[1，4，0，2]T，α2=[2，7，1，3]T，α3=[0，1，一1，a]T，β=[3，10，6，4]T，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示？ (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示？并写出此表示式．

已知α1=[1，4，0，2]T，α2=[2，7，1，3]T，α3=[0，1，一1，a]T，β=[3，10，6，4]T，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示？ (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示？并写出此表示式．

admin2019-06-09  26
问题 已知α1=[1，4，0，2]T，α2=[2，7，1，3]T，α3=[0，1，一1，a]T，β=[3，10，6，4]T，问：
(1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示？
(2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示？并写出此表示式．
选项
答案考虑线性方程组(α1，α2，α3)x=β，其中x=(x1，x2，x3)T，对其增广矩阵[*]=[α1，α2，α3，β]作初等行变换： [*] 所以 (1)当b≠2时，方程组无解，此时β不能由α1，α2，α3线性表示； (2)当b=2且a≠1时，r(A)=[*]=3，方程组有唯一解： x=(x1，x2，x3)T=(一1，2，0)T， 于是β可唯一表示为β=一α1+2α2； (3)当b=2且a=1时，r(A)=[*]=2，方程组有无穷多个解： x=(x1，x2，x3)T=k(—2，1，1)T+(一1，2，0)T， 其中k为任意常数，这时β可由α1，α2，α3线性表示为 β=一(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3(k为任意常数)．
解析
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考研数学二

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