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设A为3阶实对称阵,且满足条件A3+2A2=0,已知A的秩R(A)=2,(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵?其中E为3阶单位矩阵.
设A为3阶实对称阵,且满足条件A3+2A2=0,已知A的秩R(A)=2,(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵?其中E为3阶单位矩阵.
admin
2020-06-05
25
问题
设A为3阶实对称阵,且满足条件A
3
+2A
2
=0,已知A的秩R(A)=2,(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵?其中E为3阶单位矩阵.
选项
答案
(1)设λ是A的一个特征值,对应的特征向量为α,则 Aα=λα(α≠0),A
2
α=λ
2
α,A
3
α=λ
3
α 于是 (A
3
+2A
2
)α=(λ
3
+λ
2
)α 由已知条件A
3
+2A
2
=0,得(λ
3
+2λ
2
)α=0.又由于α≠0,故有λ
3
+2λ
2
=0,得λ=﹣2或λ=0,故A的特征值只可能是﹣2和0. 因为A是对称阵,故A必相似于某对角阵[*].又因为R(A)=2,从而(A-0E)x=0的基础解系中只含一个向量,λ=0只能是A的单特征值,于是A的特征值为λ
1
=λ
2
=﹣2,λ
3
=0. (2)因A是对称阵,所以对任意的k,A+kE也是对称阵,并且由矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=﹣2,λ
3
=0知A+kE的特征值为﹣2+k,﹣2+k,k,于是当k﹥2时,A+kE的特征值全为正数,也就是k﹥2,A+kE为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Afv4777K
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考研数学一
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