设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

admin2018-04-08 45

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n维列向量x≠0，有x^T(B^TAB)x＞0，即(Bx)^TA(Bx)＞0，于是，Bx≠0，即对任意的实n维列向量x≠0，都有Bx≠0(若Bx=0，则A(Bx)=A0=0，矛盾)。因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n(Bx=0有唯一零解的充要条件是r(B)=mn)。充分性：因A为m阶实对称矩阵，则A^T=A，故(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，根据实对称矩阵的定义知B^TAB也为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的实n维列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)=x^T(B^TAB)x＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

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考研数学一

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