设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

admin2018-04-08 31

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n维列向量x≠0，有x^T(B^TAB)x＞0，即(Bx)^TA(Bx)＞0，于是，Bx≠0，即对任意的实n维列向量x≠0，都有Bx≠0(若Bx=0，则A(Bx)=A0=0，矛盾)。因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n(Bx=0有唯一零解的充要条件是r(B)=mn)。充分性：因A为m阶实对称矩阵，则A^T=A，故(B^TAB)^T=B^TA^TB=B^TAB，根据实对称矩阵的定义知B^TAB也为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的实n维列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)=x^T(B^TAB)x＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

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考研数学一

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设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

考研数学一

设矩阵，矩阵X满足AX+E=A2+X，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵X

求y’’一y=e｜x｜的通解．

求微分方程的通解，并求满足y(1)=0的特解．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2,η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T,η2+η3=[2，一1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．

设R3中两个基α1=[1，1，0]T，α2=[0，1，1]T，α3=[1，0，1]T；β1=[1，0，0]T，β2=[1，1，0]T，β3=[1，1，1]T．求β1，β2，β3到α1,α2,α3的过渡矩阵；

设n阶矩阵A的秩为1，试证：存在常数μ，对任意正整数k，使得Ak=μk－1A．

设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且都服从正态分布N(0，σ2)，如果二阶行列式Y＝，则σ2＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题：①AAT的行列式｜AAT｜≠0；②AAT必与n阶单位矩阵等价；③AAT必与一个对角矩阵相似；④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

设3阶矩阵A与B相似，λ1=1，λ2=-2是矩阵A的两个特征值，且矩阵B的行列式｜B｜=1，则行列式｜A*+E｜=________．

设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0，而A是A的伴随矩阵，则｜A｜等于()

我国目前数字出版产业的特征包括()等。

自喷井分层采油主要是在油田开发()采用的手段。

慢性胃体炎（）

为了诊断，应首选检查是检查结果示，RBC24.0×1012/L，Hb75g/L，MCV63fl，外周血涂片示红细胞大小不等、以小细胞为主、中央淡染区扩大，血清铁蛋白10pg/L，血清铁25umol/L，最可能诊断是

二尖瓣狭窄二尖瓣关闭不全

火力发电厂主厂房的建筑构件的耐火等级要求为二级或以上，其建筑构件允许采用难燃烧材料，但耐火极限不应低于()h。

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下列各句中没有语病的一项是：

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设3阶矩阵A与B相似，λ1=1，λ2=-2是矩阵A的两个特征值，且矩阵B的行列式｜B｜=1，则行列式｜A*+E｜=________．

设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则｜A*｜等于()

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二尖瓣狭窄二尖瓣关闭不全

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