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设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
admin
2018-04-08
49
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,B
T
为B的转置矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
选项
答案
必要性:设B
T
AB为正定矩阵,则由定义知,对任意的实n维列向量x≠0,有x
T
(B
T
AB)x>0,即(Bx)
T
A(Bx)>0,于是,Bx≠0,即对任意的实n维列向量x≠0,都有Bx≠0(若Bx=0,则A(Bx)=A0=0,矛盾)。因此,Bx=0只有零解,故有r(B)=n(Bx=0有唯一零解的充要条件是r(B)=mn)。 充分性:因A为m阶实对称矩阵,则A
T
=A,故(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB,根据实对称矩阵的定义知B
T
AB也为实对称矩阵。若r(B)=n,则线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意的实n维列向量x≠0,有Bx≠0。又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)
T
A(Bx)=x
T
(B
T
AB)x>0,故B
T
AB为正定矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Alr4777K
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考研数学一
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