设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2),f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )

admin2018-04-18  48

问题 设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2),f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为(    )

选项 A、2y12-y22+y32
B、2y12+y22-y32
C、2y12-y22-y32
D、2y12+y22+y32

答案A

解析 方法一:由题设可知f=XTAx—YT(PTAP)=2y12+y22-y32。且

    所以f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12-y22+y32。答案选A。
    方法二:由题意可知,二次型f(x1,x2,x3)的矩阵A的特征值为2,1,一1,对应的特征向量分别为e1,e2,e3。由特征向量的性质可知,e1,e2,-e3仍然分别是属于特征值2,1,一1的特征向量,同时e1,e2,-e3仍为单位正交向量组,故QTaQ=diag{2,一1,1}。所以二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为2y12-y22-y32。故选A。
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