设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。求可逆矩阵P使得P—1AP=Λ 。

admin2018-12-29 69

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃。
求可逆矩阵P使得P^—1AP=Λ 。

选项

答案由(E—B)x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β₁=(—1，1，0)^T，β₂=(—2，0，1)^T；由(4E—B)x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β₃=(0，1，1)^T。令P₂=(β₁，β₂，β₃)=[*]，得P₂^—1BP₂=[*]，则 P₂^—1P₁^—1AP₁P₂=[*]，即当P=P₁P₂=(α₁，α₂，α₃)[*]=(—α₁+α₂，—2α₁+α₃，α₂+α₃)时，有 P^—1AP=Λ=[*]。

解析

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考研数学一

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