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设函数f(x)连续且恒大于零, 其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. 证明:当t>0时,F(t)>G(t).
设函数f(x)连续且恒大于零, 其中Ω(t)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)|x2+y2≤t2}. 证明:当t>0时,F(t)>G(t).
admin
2022-07-21
56
问题
设函数f(x)连续且恒大于零,
其中Ω(t)={(x,y,z)|x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
},D(t)={(x,y)|x
2
+y
2
≤t
2
}.
证明:当t>0时,F(t)>
G(t).
选项
答案
因为 [*] 欲证明t>0时,F(t)>[*]G(t),只需证明t>0时,有 [*] 即 ∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr-[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
>0 事实上,令 g(t)=∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr-[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
则 g’(t)=f(t
2
)∫
0
t
f(r
2
)(t-r)
2
dr>0 故g(t)在(0,+∞)内单调增加. 因为g(t)在t=0处连续,所以当t>0时,有g(t)>g(0),而g(0)=0,故当t>0时,g(t)>0.因此,当t>0时,F(t)>[*]G(t)成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RxR4777K
0
考研数学三
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