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设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 证明：当t＞0时，F(t)＞G(t)．
设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 证明：当t＞0时，F(t)＞G(t)．
admin
2022-07-21
91
问题
设函数f(x)连续且恒大于零，
其中Ω(t)={(x，y，z)｜x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
}，D(t)={(x，y)｜x
2
+y
2
≤t
2
}．
证明：当t＞0时，F(t)＞
G(t)．
选项
答案
因为 [*] 欲证明t＞0时，F(t)＞[*]G(t)，只需证明t＞0时，有 [*] 即 ∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr-[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
＞0 事实上，令 g(t)=∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr-[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
则 g’(t)=f(t
2
)∫
0
t
f(r
2
)(t-r)
2
dr＞0 故g(t)在(0，+∞)内单调增加． 因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)，而g(0)=0，故当t＞0时，g(t)＞0．因此，当t＞0时，F(t)＞[*]G(t)成立．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RxR4777K
0
考研数学三
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