2. 考研
  3. 设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 证明：当t＞0时，F(t)＞G(t)．

设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 证明：当t＞0时，F(t)＞G(t)．

admin2022-07-21  56
问题 设函数f(x)连续且恒大于零，
   
    其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．
证明：当t＞0时，F(t)＞G(t)．
选项
答案因为 [*] 欲证明t＞0时，F(t)＞[*]G(t)，只需证明t＞0时，有 [*] 即 ∫0tf(r2)r2dr∫0tf(r2)dr-[∫0tf(r2)rdr]2＞0 事实上，令 g(t)=∫0tf(r2)r2dr∫0tf(r2)dr-[∫0tf(r2)rdr]2 则 g’(t)=f(t2)∫0tf(r2)(t-r)2dr＞0 故g(t)在(0，+∞)内单调增加． 因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)，而g(0)=0，故当t＞0时，g(t)＞0．因此，当t＞0时，F(t)＞[*]G(t)成立．
解析
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考研数学三

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