设F(x)=g(x)φ(x),φ(x)在x=a连续但不可导,又g’(a)存在,则g(a)=0是F(x)在x=a可导的( )条件.

admin2019-03-11  23

问题 设F(x)=g(x)φ(x),φ(x)在x=a连续但不可导,又g’(a)存在,则g(a)=0是F(x)在x=a可导的(    )条件.

选项 A、充分必要
B、充分非必要
C、必要非充分
D、既非充分也非必要

答案A

解析 ①因为φ’(a)不存在,所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则;②当g(a)≠0时,若F(x)在x=a可导,可对用商的求导法则.
     (I)若g(a)=0,按定义考察
         
    于是
         
    即  F’(a)=g’(a)φ(a).
    (Ⅱ)再用反证法证明:若F(a)存在,则必有g(a)=0.若g(a)≠0,则由商的求导法则即知φ(x)=在x=a可导,与假设条件φ(x)在x=a不可导矛盾.因此应选A.
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