[2008年] 设f(x)是周期为2的连续函数．证明对任意实数t，都有

admin2019-03-30 86

问题 [2008年] 设f(x)是周期为2的连续函数．
证明对任意实数t，都有

选项

答案证一用变量代换证之．令x=2+u，则[*]再利用[*]及积分的可加性得到 [*] 证二所证等式可视为函数恒等式，即定积分的变换公式．视t为变量，利用导数证之．设[*]则F’(t)=f(t+2)－f(t)．因已知f(x)是周期为2的连续函数，故f(t+2)=f(t)．因而F’(t)=0，于是F(t)为常数．设F(t)=C，令t=0，得F(0)=0，故C=0，从而 [*] 证三设[*]则 F(t)可导，且F’(t)=f(t+2)－f(t)=0，故F(t)的取值为一个常数．由于[*]则对任何实数t，有 [*]

解析

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