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[2008年] 设f(x)是周期为2的连续函数. 证明对任意实数t,都有
[2008年] 设f(x)是周期为2的连续函数. 证明对任意实数t,都有
admin
2019-03-30
63
问题
[2008年] 设f(x)是周期为2的连续函数.
证明对任意实数t,都有
选项
答案
证一 用变量代换证之.令x=2+u,则[*]再利用[*]及积分的可加性得到 [*] 证二 所证等式可视为函数恒等式,即定积分的变换公式.视t为变量,利用导数证之.设[*]则F’(t)=f(t+2)-f(t).因已知f(x)是周期为2的连续函数,故f(t+2)=f(t).因而F’(t)=0,于是F(t)为常数.设F(t)=C,令t=0,得F(0)=0,故C=0,从而 [*] 证三 设[*]则 F(t)可导,且F’(t)=f(t+2)-f(t)=0,故F(t)的取值为一个常数.由于[*]则对任何实数t,有 [*]
解析
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考研数学三
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