设向量组(I):α1=(2,4,-2)T,α2=(-1,a-3,1)T,α3=(2,8,b-1)T;(Ⅱ):β1=(2,b+5,-2)T,β2=(3,7,a-4)T,β3=(1,2b+4,-1)T.问. a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ

admin2019-12-26  31

问题 设向量组(I):α1=(2,4,-2)T,α2=(-1,a-3,1)T,α3=(2,8,b-1)T;(Ⅱ):β1=(2,b+5,-2)T,β2=(3,7,a-4)T,β3=(1,2b+4,-1)T.问.
a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ)不等价?

选项

答案以α1,α2,α3,β1,β2,β3为列作矩阵,并对该矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵: [*] 由以上行阶梯形矩阵,得 当a=1,b≠-1时,r(I):r(Ⅱ)=2,但r(I)≠r(I,Ⅱ):3,故(I)与(Ⅱ)不等价. 当a≠1,b=-1时,仍有r(I)=r(Ⅱ)=2,但r(I)≠r(I,Ⅱ)=3,故(I)与(Ⅱ)也不等价. 综上可知,当a≠1,且b≠-1,或a=1,且b=-1时,r(I)=r(Ⅱ),从而(I)与(Ⅱ)等价;当a=1,且b≠-1或a≠1,且b=-1时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ)不等价.

解析
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