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设向量组(I):α1=(2,4,-2)T,α2=(-1,a-3,1)T,α3=(2,8,b-1)T;(Ⅱ):β1=(2,b+5,-2)T,β2=(3,7,a-4)T,β3=(1,2b+4,-1)T.问. a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ
设向量组(I):α1=(2,4,-2)T,α2=(-1,a-3,1)T,α3=(2,8,b-1)T;(Ⅱ):β1=(2,b+5,-2)T,β2=(3,7,a-4)T,β3=(1,2b+4,-1)T.问. a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ
admin
2019-12-26
30
问题
设向量组(I):α
1
=(2,4,-2)
T
,α
2
=(-1,a-3,1)
T
,α
3
=(2,8,b-1)
T
;(Ⅱ):β
1
=(2,b+5,-2)
T
,β
2
=(3,7,a-4)
T
,β
3
=(1,2b+4,-1)
T
.问.
a,b取何值时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案
以α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
,β
3
为列作矩阵,并对该矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵: [*] 由以上行阶梯形矩阵,得 当a=1,b≠-1时,r(I):r(Ⅱ)=2,但r(I)≠r(I,Ⅱ):3,故(I)与(Ⅱ)不等价. 当a≠1,b=-1时,仍有r(I)=r(Ⅱ)=2,但r(I)≠r(I,Ⅱ)=3,故(I)与(Ⅱ)也不等价. 综上可知,当a≠1,且b≠-1,或a=1,且b=-1时,r(I)=r(Ⅱ),从而(I)与(Ⅱ)等价;当a=1,且b≠-1或a≠1,且b=-1时,r(I)=r(Ⅱ),但(I)与(Ⅱ)不等价.
解析
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考研数学三
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