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已知二次型f(x1，x2，x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形。
已知二次型f(x1，x2，x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形。
admin
2019-03-23
102
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1—a)x
1
2
+(1—a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。
求正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化成标准形。
选项
答案
当a=0时，A=[*]，由特征多项式 ｜λE—A｜=[*] =(λ—2)[(λ—1)
2
—1]=λ(λ—2)
2
=0， 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0。 当λ=2时，由(2E—A)x=0及系数矩阵 [*] 得两个线性无关的特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
。 当λ=0时，由(OE—A)x=0及系数矩阵 [*] 得特征向量α
3
=(1，—1，0)
T
。 容易看出，α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化，即得 [*] 那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=[*]，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形f(x
1
，x
2
，x
3
)=2y
1
2
+2y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BHV4777K
0
考研数学二
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