设y1=x，y2=x+e2x，y3=x+xe2x是二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，则该方程为_，其通解为_．

admin2020-04-02 20

问题设y₁=x，y₂=x+e^2x，y₃=x+xe^2x是二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，则该方程为_________，其通解为_________．

选项

答案y"一4y′+4y=4(x一1)，y=(C₁+C₂x)e^2x+x．

解析由于y₂－y₁=e^2x，y₃－y₁=xe^2x为对应齐次方程的解，且线性无关．因此非齐次通解为y_非通=y_齐通+y_非特=(C₁+C₂x)e^2x+x．由r₁=r₂=2得(r－2)²=r²－4r+4，从而原方程对应的齐次方程为y"－4y′+4y=0．又y₁=x是非齐次方程的特解，从而非齐次项f(x)=y"₁－4y′₁+4y₁=4(x－1)，故所求方程为y"－4y′+4y=4(x－1)．

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