[2016年] 已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜，设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)，证明： xn存在，且0＜xn＜2．[img][/img]

admin2019-04-08 68

问题 [2016年] 已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜

，设数列{x_n}满足x_n+1=f(x_n)(n=1，2，…)，证明：

x_n存在，且0＜

x_n＜2．[img][/img]

选项

答案因[*](x_n+1-x_n)绝对收敛，故部分和S_n=[*](x_k+1-x_k)的极限存在，即[*]存在，从而[*]x_n存在．设[*]，由于f(x)可导，f(x)连续，于是在x_n+1=f(x)两边取极限： [*]，即a=f（A）．因而f（A）一f(0)=f’(ξ)a，ξ位于0与a之间，即a一1=f’(ξ)a，[*]．由题设知，[*]，故[*]，即1＜a＜2．

解析

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考研数学一

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