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  3. [2016年] 已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜，设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)，证明： xn存在，且0＜xn＜2．[img][/img]

[2016年] 已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜，设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)，证明： xn存在，且0＜xn＜2．[img][/img]

admin2019-04-08  57
问题 [2016年]  已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜，设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)，证明：
xn存在，且0＜xn＜2．[img][/img]
选项
答案因[*](xn+1-xn)绝对收敛，故部分和Sn=[*](xk+1-xk)的极限存在，即[*]存在，从而[*]xn存在． 设[*]，由于f(x)可导，f(x)连续，于是在xn+1=f(x)两边取极限： [*]，即a=f（A）． 因而f（A）一f(0)=f’(ξ)a，ξ位于0与a之间，即a一1=f’(ξ)a，[*]． 由题设知，[*]，故[*]，即1＜a＜2．
解析
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考研数学一

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