设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0

admin2019-08-26  27

问题 设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<∫’(x)证明:

选项

答案[*] g’(x)=2∫(x) —2f(x) ∫’(x)=2f(x) [1—f’(x)], 由于0< f’(x)<1,x∈(0,1),则f(x)在[0,1]内递增. 当0 f(0)=0, 于是g’(x)>0,x∈(0,1),则g(x)在[0,1]递增, 即当0g(0)=0, 所以,当00, 即F(x)在0≤x≤1时递增,故当0F(0)=0, 特别地,有F(1)>0,即[*] 所以[*]

解析 【思路探索】构造辅助函数,根据单调性理论证明F(x)>0,x∈(0,1]即可.
【错例分析】有些同学没有想到构造变上限积分作辅助函数,只是一心想着用定积分的计算方法和不等式性质去证明,可能就陷于困局,证不出结论.
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