(03年)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D． (1)求D的面积A； (2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．

admin2019-03-07 35

问题 (03年)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．
(1)求D的面积A；
(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．

选项

答案(1)如图(a)，设切点横坐标为x₀，则曲线lnx在点(x₀，lnx₀)处的切线方程为 [*] 由该切线过原点知lnx₀一1=0，从而x₀=e，所以该切线方程为 [*] 所求图形D的面积为 [*] (2)切线[*]与x轴及直线x=e所围成三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为 [*] 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成图形绕直线x=e旋转所得旋转体体积为 V₂=∫

解析

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考研数学一

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(2002年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)。记(I)证明曲线积分I与路径L无关；(Ⅱ)当ab=cd时，求I的值。
设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)＝f(b)，且f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f’(ξ)>0．
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