设,证明当n→∞时,数列{xn}极限存在,并求其值

admin2021-02-25  26

问题,证明当n→∞时,数列{xn}极限存在,并求其值

选项

答案首先证明数列{xn}是单调递增的. x1<x2显然成立. 假设xk-1<xk成立,则有 [*] 即xk<xk+1成立. 由数学归纳法知,对任何正整数n,均有xn<xn+1成立,从而数列{xn}单调递增. 又因为xn<2成立,即数列{xn}有上界. 根据单调有界原理便知数列{xn}收敛. 令[*]两边取极限得 l2=l+1 考虑到l>0,解得[*], 因此 [*].

解析
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