设，证明当n→∞时，数列{xn}极限存在，并求其值

admin2021-02-25 68

问题设

，证明当n→∞时，数列{x_n}极限存在，并求其值

选项

答案首先证明数列{x_n}是单调递增的． x₁＜x₂显然成立．假设x_k-1＜x_k成立，则有 [*] 即x_k＜x_k+1成立．由数学归纳法知，对任何正整数n，均有x_n＜x_n+1成立，从而数列{x_n}单调递增．又因为x_n＜2成立，即数列{x_n}有上界．根据单调有界原理便知数列{x_n}收敛．令[*]两边取极限得 l²=l+1 考虑到l＞0，解得[*]，因此 [*]．

解析

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