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设α1,α2……αn是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示.
设α1,α2……αn是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示.
admin
2017-07-10
67
问题
设α
1
,α
2
……α
n
是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示.
选项
答案
必要性:a
1
,a
2
,…,a
n
是线性无关的一组n维向量,因此r(a
1
,a
2
,…,a
n
)=n.对任一n维向量b,因为a
1
,a
2
,…,a
n
,b的维数n小于向量的个数n+1,故a
1
,a
2
,…,a
n
,b线性相关.综上所述r(a
1
,a
2
,…,a
n
,b)=n.又因为a
1
,a
2
,…,a
n
线性无关,所以n维向量b可由a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示.充分性:已知任一n维向量b都可由a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示,则单位向量组:ε
1
,ε
2
,…,ε
n
可由a
1
,a
2
,…,a
n
,线性表示,即r(ε
1
,ε
2
,…,ε
n
) =n≤r(a
1
,a
2
,…,a
n
),又a
1
,a
2
,…,a
n
是一组n维向量,有r(a
1
,a
2
,…,a
n
)≤n.综上,r(a
1
,a
2
,…,a
n
)=n.所以a
1
,a
2
,…,a
n
线性无关.
解析
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考研数学二
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[*]
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