已知(X，Y)的联合密度函数f(x，y)=g(x)h(y)，其中g(x)≥0，h(y)≥0，a=∫-∞+∞g(x)dx，b=∫-∞+∞h(y)dy存在且不为零，则X与Y独立，其密度函数fX(x)，fY(y)分别为

admin2018-11-20 45

问题已知(X，Y)的联合密度函数f(x，y)=g(x)h(y)，其中g(x)≥0，h(y)≥0，a=∫_-∞^+∞g(x)dx，b=∫_-∞^+∞h(y)dy存在且不为零，则X与Y独立，其密度函数f_X(x)，f_Y(y)分别为

选项 A、f_X(x)=g(x)，f_Y(y)=h(y)．
B、f_X(x)=ag(x)，f_Y(y)=bh(y)．
C、f_X(x)=bg(x)，f_Y(y)=ah(y)．
D、f_X(x)=g(x)，f_Y(y)=abh(y)．

答案C

解析显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选项．由于
f_X(x)=∫_-∞^+∞f(x，y)dy=∫_-∞^+∞g(x)h(y)dy=g(x)∫_-∞^+∞h(y)dy=bg(x)，
f_Y(y)=∫_-∞^+∞g(x)h(y)dx=ah(y)，
又 1=∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞f(x，y)dxdy=∫_-∞^+∞g(x)dx∫_-∞^+∞h(y)dy=ab，所以f(x，y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=f_X(x)f_Y(y)，X与Y独立，故选(C)．

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考研数学三

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