2. 考研
  3. 设f(x)=xsinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．

设f(x)=xsinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．

admin2019-03-21  51
问题 设f(x)=xsinx-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
选项
答案将原方程改写为 f(x)=xsinx-x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt． 因为f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(x)也可微．两端对x求导，又原式中令x=0，则原方程等价于 f(x)=xcosx+sinx-∫0xf(t)dt，f(0)=0． (6．7) 同理，方程右端仍可微，所以f(x)存在二阶导数，再将(6．7)中的方程两边求导，并令x=0，则得(6．7)等价于 f’’(x)=-xsinx+2cosx-f(x)，f’(0)=0，f(0)=0． 即y=f(x)满足微分方程的初值问题y’’+y=-xsinx+2cosx，y(0)=0，y’(0)=0． (6．8) 由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y*(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解为y*(x)=[*]x22cosx+[*]xsinx，进而方程的通解为 y=f(x)=[*]x2cosx+[*]xsinx+C1cosx+C2sinx． (6．9) 由f(0)=0可知C1=0，而由f’(0)=0又可推出C2=0，所以f(x)=[*]x2cosx+[*]xsinx．
解析
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考研数学二

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