设f(x)=xsinx-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f(x)连续,求f(x).

admin2019-03-21  25

问题 设f(x)=xsinx-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f(x)连续,求f(x).

选项

答案将原方程改写为 f(x)=xsinx-x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt. 因为f(x)连续,所以方程的右端是可微的,因而左端的函数f(x)也可微.两端对x求导,又原式中令x=0,则原方程等价于 f(x)=xcosx+sinx-∫0xf(t)dt,f(0)=0. (6.7) 同理,方程右端仍可微,所以f(x)存在二阶导数,再将(6.7)中的方程两边求导,并令x=0,则得(6.7)等价于 f’’(x)=-xsinx+2cosx-f(x),f’(0)=0,f(0)=0. 即y=f(x)满足微分方程的初值问题y’’+y=-xsinx+2cosx,y(0)=0,y’(0)=0. (6.8) 由于此方程的特征根为±i,所以其特解应具形式y*(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx.代入方程,求出系数A,B,C,D,则得其特解为y*(x)=[*]x22cosx+[*]xsinx,进而方程的通解为 y=f(x)=[*]x2cosx+[*]xsinx+C1cosx+C2sinx. (6.9) 由f(0)=0可知C1=0,而由f’(0)=0又可推出C2=0,所以f(x)=[*]x2cosx+[*]xsinx.

解析
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