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设A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量. (Ⅱ)求矩阵A.
设A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量. (Ⅱ)求矩阵A.
admin
2017-04-24
62
问题
设A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且
(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量.
(Ⅱ)求矩阵A.
选项
答案
(Ⅰ)由于A的秩为2,故0是A的一个特征值.由题设可得 [*] 所以,一1是A的一个特征值,且属于一1的特征向量为k
1
(1,0,一1)
T
,k
1
为任意非零常数;1也是A的一个特征值,且属于1的特征向量为k
2
(1,0,1)
T
,k
2
为任意非零常数. 设x= (x
1
,x
2
,x
3
)
T
为A的属于0的特征向量,由于A为实对称矩阵,A的属于不同特征值的特征向量相互正交,则 [*] 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0,1,0)
T
,于是属于0的特征向量为k
3
(0,1,0)
T
,其中k
3
为任意非零常数. (Ⅱ)令矩阵 [*]
解析
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考研数学二
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