已知方程组 (1) 有解，证明：方程组 (2) 无解。

admin2019-01-19 39

问题已知方程组
(1)

有解，证明：方程组
(2)

无解。

选项

答案用A₁，[*]和A₂，[*]分别表示方程组(1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，则[*]=A₂^T。已知方程组(1)有解，故r(A₁)=r([*])。又由于(b₁，b₂，…，b_m，1)不能由(a₁₁，a₂₁，…，a_m1，0)，(a₁₂，a₂₂，…，a_m2，0)，…，(a_1n，a_2n，…，a_mn， 0)线性表示，所以 [*] 故r(A₁^T)≠r([*])，再由r(A₁^T)=r(A₁)=r([*])=r(A₂^T)=r(A₂)，可得r(A₂)≠r([*])，所以方程组(2)无解。

解析

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