假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求： (I)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率； (Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．

admin2018-11-20 42

问题假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求：
(I)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率；
(Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．

选项

答案(I)假设X_i表示袋中第i颗螺丝钉的重量，i=1，…，100，则X₁,…，X₁₀₀相互独立同分布，EX_i=50，DX_i=5²．记一袋螺丝钉的重量为S₁₀₀，则 [*] ES₁₀₀=5000，DS₁₀₀=2500．应用列维一林德伯格中心极限定理可知S₁₀₀近似服从正态分布N(5000，50²)，且P{S₁₀₀＞5100}=1一P{S₁₀₀≤5100}=[*] ≈1一ψ(2)=0．02275． (Ⅱ)设500袋中重量超过5．1千克的袋数为Y，则Y服从参数n=500，P=0．02275的二项分布．EY=11．375，DY=11．116．应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，可知Y近似服从参数μ=11．375，σ²=11．116的正态分布，于是 [*]

解析

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考研数学三

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假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求： (I)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率； (Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．

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