f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得

admin2016-07-22 35

问题 f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得

选项

答案因为f’(x)在[0，1]上连续，所以，f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x₁，x₂∈[0，1]，使f’(x₁)=m，f’(x₂)=M．由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)-f(0)=f’(η)x，于是有 f’(x₁)x=mx≤f(x)=f(x)-f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x₂)x， [*] 因为f’(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x₁，x₂][*][0，1]，或ξ∈[x₂，x₁][*][0，1]，使f’(ξ)=[*]

解析

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考研数学一

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