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设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xy’(x)dx=( )
设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xy’(x)dx=( )
admin
2018-03-30
56
问题
设y(x)是初值问题
的解,则∫
0
+∞
xy’(x)dx=( )
选项
A、一1一b+2a.
B、一1+b一2a.
C、一1一b一2a.
D、一1+b+2a.
答案
C
解析
y"+2y’+y=e
-x
的通解为
y=(C
1
+C
2
x+Ax
2
)e
-x
,
其中C
1
,C
2
为任意常数,A为某常数,而线性方程的通解为一切解.由此
y’=[(C
2
一C
1
)+(2A—C
2
)x一Ax
2
]e
-x
,
可见,无论C
1
,C
2
,A是什么常数,∫
0
+∞
xy’(x)dx均收敛.于是由分部积分法和原给的式子y=e
-x
一y"一2y’,可得
∫
0
+∞
xy’(x)dx=∫
0
+∞
xdy(x)=xy(x)|
0
+∞
一∫
0
+∞
y(x)dx
=0—0一∫
0
+∞
[e
-x
一y"(x)一2y’(x)]dx
=[e
-x
+y’(x)+2y(x)]|∫
0
+∞
=(0+0+0)一[1+y’(0)+2y(0)]
=一1一b一2a.
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考研数学三
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