设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xy’(x)dx=( )

admin2018-03-30  29

问题 设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xy’(x)dx=(    )

选项 A、一1一b+2a.
B、一1+b一2a.
C、一1一b一2a.
D、一1+b+2a.

答案C

解析 y"+2y’+y=e-x的通解为
    y=(C1+C2x+Ax2)e-x
  其中C1,C2为任意常数,A为某常数,而线性方程的通解为一切解.由此
    y’=[(C2一C1)+(2A—C2)x一Ax2]e-x
  可见,无论C1,C2,A是什么常数,∫0+∞xy’(x)dx均收敛.于是由分部积分法和原给的式子y=e-x一y"一2y’,可得
    ∫0+∞xy’(x)dx=∫0+∞xdy(x)=xy(x)|0+∞一∫0+∞y(x)dx
=0—0一∫0+∞[e-x一y"(x)一2y’(x)]dx
=[e-x+y’(x)+2y(x)]|∫0+∞
=(0+0+0)一[1+y’(0)+2y(0)]
=一1一b一2a.
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