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  3. 设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xy’(x)dx=( )

设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xy’(x)dx=( )

admin2018-03-30  39
问题 设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xy’(x)dx=(    )
选项 A、一1一b+2a．
B、一1+b一2a．
C、一1一b一2a．
D、一1+b+2a．
答案C
解析 y"+2y’+y=e-x的通解为
    y=(C1+C2x+Ax2)e-x，
  其中C1，C2为任意常数，A为某常数，而线性方程的通解为一切解．由此
    y’=[(C2一C1)+(2A—C2)x一Ax2]e-x，
  可见，无论C1，C2，A是什么常数，∫0+∞xy’(x)dx均收敛．于是由分部积分法和原给的式子y=e-x一y"一2y’，可得
    ∫0+∞xy’(x)dx=∫0+∞xdy(x)=xy(x)｜0+∞一∫0+∞y(x)dx
=0—0一∫0+∞[e-x一y"(x)一2y’(x)]dx
=[e-x+y’(x)+2y(x)]｜∫0+∞
=(0+0+0)一[1+y’(0)+2y(0)]
=一1一b一2a．
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考研数学三

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